奇偶性與單調(diào)性

　　函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是成人高考的重點和熱點內(nèi)容之一，特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出.本節(jié)主要幫助考生學(xué)會怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識。

　　●難點磁場

　　(★★★★★)已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0,解不等式f[log2(x2+5x+4)]≥0.

　　●案例探究

　　[例1]已知奇函數(shù)f(x)是定義在(-3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,設(shè)不等式解集為A，B=A∪{x|1≤x≤ },求函數(shù)g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值.

　　命題意圖：本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目，考生必須具有綜合運用知識分析和解決問題的能力，屬★★★★級題目.

　　知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題.

　　錯解分析：題目不等式中的“f”號如何去掉是難點，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時，學(xué)生容易漏掉定義域.

　　技巧與方法：借助奇偶性脫去“f”號，轉(zhuǎn)化為xcos不等式，利用數(shù)形結(jié)合進行集合運算和求最值.

　　解：由 且x≠0,故0

　　又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2),又f(x)在(-3，3)上是減函數(shù)，

　　∴x-3>3-x2,即x2+x-6>0,解得x>2或x<-3,綜上得2

　　∴B=A∪{x|1≤x≤ }={x|1≤x< },又g(x)=-3x2+3x-4=-3(x- )2- 知：g(x)在B上為減函數(shù)，∴g(x)max=g(1)=-4.

　　[例2]已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)，是否存在實數(shù)m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)對所有θ∈[0, ]都成立?若存在，求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由.

　　命題意圖：本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運算能力，屬★★★★★題目.

　　知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用等價轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.

　　錯解分析：考生不易運用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題，特別不易考慮運用等價轉(zhuǎn)化的思想方法.

　　技巧與方法：主要運用等價轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題.

　　解：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，且在[0，+∞)上是增函數(shù)，∴f(x)是R上的增函數(shù).于是不等式可等價地轉(zhuǎn)化為f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),

　　即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0.

　　設(shè)t=cosθ,則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2-mt+2m-2=(t- )2- +2m-2在[0，1]上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在[0，1]上的最小值為正.

　　∴當(dāng) <0,即m<0時，g(0)=2m-2>0 m>1與m<0不符;

　　當(dāng)0≤ ≤1時，即0≤m≤2時，g(m)=- +2m-2>0

　　4-2

　　當(dāng) >1,即m>2時，g(1)=m-1>0 m>1.∴m>2

　　綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>4-2 .

　　●錦囊妙計

　　本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：

　　(1)運用奇偶性和單調(diào)性去解決有關(guān)函數(shù)的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力.

　　(2)應(yīng)用問題.在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實際問題的過程中，往往還要用到等價轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，把問題中較復(fù)雜、抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡單的式子去解決.特別是：往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實際應(yīng)用題中的最值問題.

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